Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:
An=am-1am-2…aia0*a-1a-2…a-k=am-1*Nm-1+am-2*Nm-2…+a-k*N-k,(2.1)
где ai – i-я цифра числа; k – количество цифр в дробной части числа; m — количество цифр в целой части числа; N – основание системы счисления.
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз «вес» i-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Пример 2.1.
А10=37.25.
В соответствии с формулой (2.1) это число формируется из цифр с весами рядов:
А10=3*101+7*100+2*10-1+5*10-2.
Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е=2,71828…, находящимся между числами 2 и 3.
Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:
- более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
- более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
- экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.
При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:
- десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, — {0, 1,…,9};
- шестнадцатеричная — {0,1,2, …9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11, …,F-число 15;
- восьмеричная (от слова восьмерик) — {0,1,2,3,4,5, б, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.
Пример 2.2.
Число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеет следующее представление:
А2=1100100,101;
А8=144.5;
A16=64.A;
A2=1*26+1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3;
A8=1*82+4*81+4*80+5*8-1;
A16=6*161+4*160+10*16-1.
Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.