Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Правила сложения двоичных цифр двух чисел А и В представлены в таблице 2.2.
Здесь показаны правила сложения двоичных цифр ai, bi одноименных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разряда pi-1.
Правила сложения двоичных цифр:
Значения двоичных чисел |
Разряд суммы
Si |
Перенос в следующий разряд
Рi |
||
аi | bi | Pi-1 | ||
0
0 0 0 1 1 1 1 |
0
0 1 1 0 0 1 1 |
0
1 0 1 0 1 0 1 |
0
1 1 0 1 0 0 1 |
0 0 0 1 0 1 1 1 |
Подобные таблицы можно было бы построить для любой другой арифметической и логической операции (вычитание, умножение и т.д.), но именно данные этой таблицы положены в основу выполнения любой операции ЭВМ. Под знак чисел отводится специальный знаковый разряд. Знак «+» кодируется двоичным нулем, а знак «-» — единицей. Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполнении операций создают большие трудности, связанные с необходимостью учета значений знаковых разрядов:
- во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие разряды чисел и разряды знака;
- во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции (сложение может заменяться вычитанием и наоборот).
Во всех ЭВМ без исключения все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения,
Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) двоичных чисел.
Машинные коды
Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим числовым разрядом.
Пример 2.3.
A10=+10 A2=+1010 [A2]П=0:1010;
B10=-15 B2=-1111 [B2]П=1:1111.
Точечной вертикальной линией здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих.
Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы — нулями.
Пример 2.4.
A10=+5 A2=+101 [A2]П=[A2]OK=0:101;
B10=-13 B2=-1010 [B2]OK=1:0010.
Свое название обратный код чисел получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важные свойства обратного кода чисел:
- сложение положительного числа с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕок= 1: 111… 11, состоящую из единиц в знаковом и значащих разрядах числа;
- нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть положительным — 0: 00…0 и отрицательным числом — 1; 11… 11. Значение отрицательного нуля совпадает с МЕок. Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом. Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2° — для целых чисел, 2-k — для дробных).
Пример 2.5.
A10=+19 A2=+10011 [A2]П=[A2]OK=[A2]ДК=0:10011;
B10=-13 В2=-1101 [B2]ДК=[B2]OK+20=1:0010+1=1:0011.
Укажем основные свойства дополнительного кода:
- сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным значением дает так называемую машинную единицу дополнительного кода:
МЕДК=МЕОК+20=10: 00…00,
т.е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа;
- дополнительный код получил такое свое название потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.
Модифицированные обратные и дополнительные коды двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а «-» — двумя единичными разрядами.
Пример 2.6.
A10=9 A2=+1001 [A2]П=[A2]OK=[A2]ДК=0:1001
[A2]МОК=[A2]МДК=00:1001;
B10=-9 B2=-1001 [B2]OK=1:0110 [B2]ДК=1:0111
[B2]МОК=11:0110 [B2]МДК=11:0111.
Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, когда значение результата превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов “01” свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, а “10” — об отрицательном переполнении. В настоящее время практически во всех моделях ЭВМ роль удвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки играют переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда.
Сложение (вычитание)
Операция вычитания приводится к операции сложения путем преобразования чисел в обратный или дополнительный код. Пусть числа A≥O и В≥О, тогда операция алгебраического сложения выполняется в соответствии с таблице 2.3.
Таблица 2.3 -Таблица преобразования кодов при алгебраическом сложении
Требуемая операция |
Необходимое преобразование |
А+В
А-В -А+В -А-В |
А+В А+(-В) (-А)+В (-А)+(-В) |
Скобки в представленных выражениях указывают на замену операции вычитания операцией сложения с обратным или дополнительным кодом соответствующего числа. Сложение двоичных чисел осуществляется последовательно, поразрядно в соответствии с таблицей 2.2. При выполнении сложения цифр необходимо соблюдать следующие правила:
- Слагаемые должны иметь одинаковое число разрядов. Для выравнивания разрядной сетки слагаемых можно дописывать незначащие нули слева к целой части числа и незначащие нули справа к дробной части числа.
- Знаковые разряды чисел участвуют в сложении так же, как и значащие.
Необходимые преобразования кодов (п. 2.3.1) производятся с изменением знаков чисел. Приписанные незначащие нули изменяют свое значение при преобразованиях по общему правилу. При образовании единицы переноса из старшего знакового разряда, в случае использования ОК, эта единица складывается с младшим числовым разрядом. При использовании ДК единица переноса теряется. Знак результата формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые.
Пример 2.7.
Сложить два числа А10=7 В10=16
A2=+11=+0111;
B2=+1000=+10000.
Исходные числа имеют различную разрядность, необходимо провести выравнивание разрядной сетки:
[A2]П=[A2]OK=[A2]ДК=0: 00111;
[B2]П=[B2]OK=[B2]ДК=0: 10000.
Сложение в обратном или дополнительном коде дает один и тот же результат
Обратите внимание, что при сложении цифр отсутствуют переносы в знаковый разряд и из знакового разряда, что свидетельствует о получении правильного результата.
Пример 2.8.
Сложить два числа А10 = + 16 В10 = -7 в ОК и ДК. В соответствии с таблицей 2.3 должна быть реализована зависимость А+(-В), в которой второй член преобразуется с учетом знака
При сложении чисел в ОК и ДК были получены переносы в знаковый разряд и из знакового разряда. В случае ОК перенос из знакового разряда требует дополнительного прибавления единицы младшего разряда (см.п.4 правил). В случае ДК этот перенос игнорируется.
Умножение
Умножение двоичных чисел наиболее просто .реализуется в прямом коде. Рассмотрим, каким образом оно приводится к операциям сложения и сдвигам.
Пример 2.9.
Умножить два числа А10=7 В10=5.
Перемножим эти числа, представленные прямыми двоичными кодами, так же, как это делается в десятичной системе.
[A2]П = 0 | 111 [B2]П = 0 | 101
0 | 111
0 | 101
111
111 .
[C2]П = 100011
Нетрудно видеть, что произведение получается путём сложения частных произведений, представляющих собой разряды множимого, сдвинутые влево в соответствии с позициями разрядов множителя. Частные произведения, полученные умножением на нуль игнорируются. Важной особенностью операции умножения n-разрядных сомножителей является увеличение разрядности произведения до n+n=2n. Знак произведения формируется путём сложения знаковых разрядов сомножителей. Возможные переносы из знакового разряда игнорируются.
Деление
Операция деления, как и в десятичной арифметике, является обратной операции умножения. Покажем, что и эта операция приводится к последовательности операций сложения и сдвига.
Пример 2.10.
Разделить два числа А10=45 B10 =5
Деление произведено так же, как это делается обычно в десятичной системе. Сначала проверяется, можно ли вычесть значение делителя из старших разрядов делимого. Если возможно, то в разряде частного записывается единица и определяется частная разница. В противном случае в частное записывается нуль и разряды делителя сдвигаются вправо на один разряд по отношению к разрядам делимого. К полученной предыдущей разнице сносится очередная цифра делимого, и данный процесс повторяется, пока не будет получена необходимая точность. Если учесть, что все вычитания в ЭВМ заменяются сложением в ОК или в ДК (см. таблицу 2.3), то действительно операция деления приводится к операциям сложения и сдвигам вправо разрядов делителя относительно разрядов делимого.
Замечание1: делимое перед операцией деления должно быть приведено к 2n-разрядной сетке. Только в этом случае при делении на n-разрядный делитель получается n-разрядное частное.
Замечание 2: Знак частного формируется также путем сложения знаковых разрядов делимого и делителя, как это делалось при умножении.
Арифметические операции над двоичными числами с плавающей точкой
В современных ЭВМ числа с плавающей точкой хранятся в памяти машин, имея мантиссу и порядок (характеристику) в прямом коде и нормализованном виде. Все арифметические действия над этими числами выполняются так же, как это делается с ними, если они представлены в полулогарифмической форме (мантисса и десятичный порядок) в десятичной системе счисления. Порядки и мантиссы обрабатываются раздельно.
Сложение (вычитание). Операция сложения (вычитания) производится в следующей последовательности.
- Сравниваются порядки (характеристики) исходных чисел путем их вычитания р=р1-р2. При выполнении этой операции определяется, одинаковый ли порядок имеют исходные слагаемые.
- Если разность порядков равна нулю, то это значит, что одноименные разряды мантисс имеют одинаковые веса (двоичный порядок). В противном случае должно проводиться выравнивание порядков.
- Для выравнивания порядков число с меньшим порядком сдвигается вправо на разницу порядков Ар. Младшие выталкиваемые разряды при этом теряются.
- После выравнивания порядков мантиссы чисел можно складывать (вычитать) в зависимости от требуемой операции. Операция вычитания заменяется операцией сложения в соответствии с данными таблицы 2.3. Действия над слагаемыми производятся в ОК или ДК по общим правилам.
- Порядок результата берется равным большему порядку.
- Если мантисса результата не нормализована, то осуществляются нормализация и коррекция значений порядка.
Пример 2.11. Сложить два числа А10=+1.375; B10=-0.625.
А2=+1.011=0: 1011*101; B2=-0.101=-0:101*100.
В нормализованном виде эти числа будут иметь вид:
- Вычитаем порядки Δp=p1-p2=1-0=1. В машине эта операция требует операции сложения с преобразованием порядка чисел в дополнительный код:
Определяем, что Δр≠ 0.
- Порядок первого числа больше порядка второго числа на единицу. Требуется выравнивание порядков.
- Для выравнивания порядков необходимо второе число сдвинуть вправо на один разряд.
[B2]исх=0: 0 1: 101
после сдвига
[B2]п=0: 11:0101
[mB]дк= 1: 1011
- Складываем мантиссы.
Мантисса числа С — положительная.
- Порядок числа С равен порядку числа с большим порядком, т.е. р = +1.
[С2]п=0: 1 0: 0110.
Видно, что мантисса результата не нормализована, так как старшая цифра мантиссы равна нулю.
- Нормализуем результат путем сдвига мантиссы на один разряд влево и соответственно вычитаем из значения порядка единицу:
Умножение (деление). Операция умножения (деления) чисел с плавающей точкой также требует разных действий над порядками и мантиссами. Алгоритмы этих операций выполняются в следующей последовательности.
- При умножении (делении) порядки складываются (вычитаются) так, как это делается над числами с фиксированной точкой.
- При умножении (делении) мантиссы перемножаются (делятся).
- Знаки произведения (частного) формируются путем сложения знаковых разрядов сомножителей (делимого и делителя). Возможные переносы из знакового разряда игнорируются.
Арифметические операции над двоично-десятичными кодами чисел
При обработке больших массивов экономической информации переводы чисел из десятичной системы в двоичную и обратно могут требовать значительного машинного времени. Некоторые образцы ЭВМ поэтому имеют или встроенные, или подключаемые блоки, которые обрабатывают десятичные целые числа в их двоично-десятичном представлении. Действия над ними также приводятся к операции алгебраического сложения отдельных цифр чисел, представленных дополнительными кодами в соответствии с таблице 2.3.
Приведем один из алгоритмов сложения, который получил довольно широкое распространение.
- Сложение чисел начинается с младших цифр (тетрад) и производится с учетом возникающих переносов из младших разрядов в старшие.
- Знак суммы формируется специальной логической схемой по знаку большего слагаемого.
- Для того чтобы при сложении двоично-десятичных цифр возникали переносы, аналогичные при сложении чисел в десятичном представлении, необходимо проводить так называемую десятичную коррекцию. Для этого к каждой тетраде первого числа прибавляется дополнительно по цифре 610=01102, что позволяет исключить шесть неиспользуемых комбинаций (1010-1111)2, так как они кодируют шестнадцатеричные цифры A-F (числа 10-1510).
- После операции суммирования осуществляется корректировка суммы. Из тех тетрад суммы, из которых не было переносов, изымаются ранее внесенные избытки 610=01102. Для этого проводится вторая коррекция. Операция вычитания заменяется, как и обычно, операцией сложения с числом -6,представленным дополнительным кодом 10102, но только в тех разрядах, в которых отсутствовали переносы. При этой второй коррекции переносы из тетрад блокируются.
- Операция вычитания реализуется достаточно своеобразно. По общему правилу сложения (п.п.1-4) к тетрадам числа с большим модулем прибавляются дополнительные коды тетрад другого числа. В качестве знаке результата берется знак числа с большим модулем.